Układ równań liniowych
gdzie liczby \$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\$ nazywamy współczynnikami.
Aby rozwiązać układ równań szukamy takiej pary liczb \$(x;y)\$ aby po podstawieniu za \$x\$ i \$y\$ do obu równań w układzie był on zawsze spełniony.
Metoda podstawiania
Jedną z metod dobrze znaną jest metoda podstawiania: wyliczenie jednej zmiennej zależnej od drugiej z jednego równania i podstawienie do drugiego równania.
Metoda przeciwnych współczynników
Kolejną dobrze znaną metodą jest metoda przeciwnych współczynników: Przekstałcamy równania tak, aby przy wybranych niewiadomych w obu równaniach były przeciwne współczynniki, a następnie sumujemy jednomiany podobne redukując jedną niewiadomą.
Przykłady
x: liczba mężczyzn pracujących w szkole
y: liczba kobiet pracujących w szkole
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{7} \\ x+y=18 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7x=2y \\ x+y = 18 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 7(18-y)=2y \\ x= 18 - y \end{cases} \] \[ \begin{cases} 126-7y = 2y \\ x = 18 - y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 126=9y \\ x=18-y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=14 \\ x =4 \end{cases} \]Odp: W szkole uczy 4 mężczyzn i 14 kobiet.
x, y: dwie szukane liczby
\$0.8x = \frac{4}{5}x\$: 80% procent jednej liczby
\$\frac{1}{2}y\$: połowa drugiej liczby
\$x+y=117\$: suma szukanych liczb
Z jednego warunku mamy, że 80% pewnej liczby stanowi połowę drugiej liczby:
\[ \frac{4}{5}x = \frac{1}{2}y \]Z drugiego warunku mamy, że suma liczb wynosi 117:
\[ x+y=117 \]Łącząc warunki rozwiązujemy układ równań:
\[\begin{cases} \dfrac{4}{5}x = \dfrac{1}{2}y \\ x+y=117 \end{cases} \] \[\begin{cases} \dfrac{4}{5}x = \dfrac{1}{2}y \ /*10 \\ x+y=117 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 8x = 5y \ /-5y \\ x + y = 117 \ /*5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 8x-5y=0 \\ 5x + 5y = 585 \end{cases} \] \[ \def\arraystretch{1} \begin{array}{c} \begin{alignat*}{2} 8&x-&5&y=0 \\ 5&x + &5&y = 585 \end{alignat*} \\ \hline \begin{alignat*}{2} \ \ \ 13x + 0y &= 585 \\ 13x&=585 \\ x&=45 \end{alignat*} \end{array} \] Podstawiamy "x" do pierwszego równania i wyliczamy niewiadomą "y": \[ \begin{align*} 8*45-5y &= 0 \\ 360&=5y \\ y&=72 \end{align*} \]Odp: Szukane liczby to \$45\$ i \$72\$.