Proporcjonalność odwrotna
Definicja
Liczby \$x\$ i \$y\$ są odwrotnie proporcjonalne, gdy zwiększając jedną liczbę, drugą zmniejszamy tyle samo razy. To jest wtedy i tylko wtedy, gdy
\[ c=x*y \quad \text{dla} \ x,y,c\neq 0 \]Ta definicja jest wystarczająca, weźmy dwie liczby \$x\$ i \$y\$ oraz liczbę \$k\neq 0\$. Niech \$x'=x*k\$ i \$y'=\frac{1}{k}*y\$. Mamy, że \$x'*y'=x*y \$ i to chcemy osiągnąć.
Z definicji: droga (d) = prędkość (v) * czas (t), a więc prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
Iza porusza się na rowerze z prędkością \$12[km]/[h]\$.
A) Jaką drogę przejedzie Iza w czasie \$20\$ minut?
B) W jakim czasie Iza przejedzie tę samą drogę co w punkcie A), jeżeli będzie jechać z prędkością \$15[km]/[h]\$? Wynik podaj w minutach.
A)
Pamiętamy o przeliczaniu wielkości w tych samych jednostkach: \$1[h] = 60[min]\$.
Z warunków zadania mamy, że \$v=12[km]/[h]\$ i \$t=20[min]=\frac{1}{3}[h]\$. Liczymy drogę. \[ d = \frac{12[km]}{1\cancel{[h]}} * \frac{1}{3}\cancel{[h]} = \frac{12[km]}{3} = 4[km] \]Odp: Iza przejedzie w czasie \$20\$ minut \$4[km]\$.
B)
x: czas jazdy Izy
Z wielkości proporcjonalnie odwrotnych układamy równanie.
\[ \frac{15[km]}{1[h]} * x = 4[km] \]Obliczamy czas jazdy Izy.
\[\begin{aligned} \frac{15[km]}{1[h]} * x &= 4[km] \ /:\frac{15[km]}{1[h]} \\ x&=4\cancel{[km]} * \frac{1[h]}{15\cancel{[km]}} = \frac{4}{15}[h] \end{aligned}\]Przeliczamy \$\frac{4}{15}[h]\$ na minuty. Dzielimy sześćdziesiąt pełnych minut na piętnaście części: \$60:15=4\$, a więc jedna część to \$4\$ minuty, a bierzemy cztery takie części: \$4*4=16\$.
Odp: Iza tę samą trasą przejedzie z prędkością \$15[km]/[h]\$ w czasie \$16[m]\$.
Gdy ilość pracowników do wykonania tej samej pracy zwiększa się trzykrotnie, to czas potrzebny do wykonania tej pracy powinien zmaleć trzykrotnie, a więc czas i ilość pracowników są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
A więc czas potrzebny do wykonania tej pracy: \$30 : 3 = 10\$ wynosi \$10\$ minut.
Podobnie obliczymy czas z równania proporcjonalności odwrotnej.
x: Czas pracy \$15\$ pracowników
\[\begin{align*} 15*x&=5*30[min] \\ \cancel{15}x&= \cancel{150}^{10}[min] \\ x&=10[min] \end{align*} \]Odp: Czas potrzebny \$15\$ pracownikom do wykonania tej samej pracy to \$10\$ minut.
Czas wydłuża się trzykrotnie, a więc ilość pracowników zmniejsza się trzykrotnie. Mamy \$6:3 = 2\$. Mamy dwóch pracowników, którzy wykonają podaną pracę w czasie \$45\$ minut.
Podobnie obliczymy ilość pracowników z równania proporcjonalności odwrotnej.
x: Liczba pracowników przepakowująca towar o masie \$400[kg]\$ w czasie \$45[min]\$
\[ \begin{align*} 45\cancel{[min]}*x &= 15\cancel{[min]}*6 \\ \cancel{45}^{3}x&=\cancel{15}*6 \\ 3x&=6 \\ x&=2\end{align*} \]Odp: Towar o masie \$400[kg]\$ w czasie \$45\$ minut przepakuje dwóch pracowników.
\$W_A=60 * 50[mg] = 3000[mg]\$: wydajność pierwszego opakowania leku
\$W_B=2W_A= 6000[mg]\$: wydajność drugiego opakowania leku
x: ilość tabletek w drugim opakowaniu
\[\begin{align*} 80[mg]*x&=2*W_A \\ \cancel{80}^{40}\cancel{[mg]}*x&=\cancel{2}*30*100*\cancel{[mg]} \\ 4\cancel{0}x&=3\cancel{0}*100 \\ \cancel{4}x&=3*\cancel{100}^{25} \\ x&=3*25=75 \end{align*}\]Odp: W drugim opakowaniu będzie \$75\$ tabletek.
Funkcja
Proporcjonalność odwrotna to funkcja \$f\$ dana wzorem:
\[ f(x)=\frac{c}{x} \quad \text{dla} \ c\neq 0 \]Oczywiście dziedzina funkcji musi być różna od zera, więc \$x\neq 0\$. Podana funkcja jest szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej.