Zbiory i zbiory liczbowe
Pojęcie zbioru
Zbiór określamy jako kolekcję elementów w której kolejność występowania elementów nie ma znaczenia.
Zbiory oznaczamy dużymi literami np. \$A, B, C\$ czy \$X, Y, Z\$.
Zbiór definiujemy słownie lub wypisując w nawiasach klamrowych elementy tego zbioru.
Zbiór \$C\$ jako zbiór wszystkich cyfr. Więc \$C=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\$
Zbiór \$H\$ jako zbiór liter alfabetu od "d" do "n" Więc \$H=\{d,e,f,g,h,i,j,k,l,n\}\$
\$P=\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \cdots \}\$ - zbiór liczb nieparzystych dodatnich
Zbiór skończony to zbiór zawierający skończoną liczbę elementów. Z przykładu wyżej, widzimy, że takimi zbiorami są zbiory \$C\$ oraz \$H\$.
Zbiór nieskończony to zbiór zawierający nieskończoną liczbę elementów. Z przykładu wyżej takim zbiorem jest zbiór \$P\$.
Moc zbioru to ilość elementów tego zbioru skończonego. Moc danego zbioru \$A\$ oznaczamy przez \$|A|\$. Z przykładu wyżej mamy \$|C|=10\$.
Zbiór pusty to zbiór niezawierający żadnych elementów. Określamy go symbolicznie znakiem \$\emptyset\$. Oczywiście \$|\emptyset|=0\$.
Jeśli chcemy zapisać, że jakiś element należy do danego zbioru używamy symbolu \$\in\$. Np. \$ 0\in \mathbb{N} \$.
Symbolem \$\notin\$ zaznaczamy, że dany element nie należy do danego zbioru. Np. \$\frac{3}{4}\notin \mathbb{N}\$.
Bardziej skomplikowane zbiory możemy definiować za pomocą warunków jakie mają spełniać.
\$C=\{ n\in\mathbb{N}: n< 10\}\$ To jest zbiór \$C=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\$
\$A=\{ n\in\mathbb{N}: 2n\leq 100\} = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10, \cdots, 98, 100 \}\$
\$B=\{ x\in\mathbb{R}: -10\leq x< 10 \}\$ - nieskończony podzbiór liczb rzeczywistych
Równość zbiorów
Jeśli zbiory \$A\$ i \$B\$ nie są równe, możemy zapisać \$A\neq B\$.
Zbiory \$C=\{ n\in\mathbb{N}: n< 10\}\$ oraz \$M=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\$ są równe, więc \$C=M\$.
Zbiory\$X=\{ x\in\mathbb{N}: x^2< 9\}\$ oraz \$Y=\{ 0, 1, 2, 3 \}\$ nie są równe, bo zbiór \$X\$, to zbiór:
\[ X=\{ 0, 1, 2 \} \]więc \$X\neq Y\$. Mamy warunek z ostrą nierównością w zbiorze \$X\$, więc \$3\notin X\$.
Zbiory są równe jeśli zawierają te same elementy. Do zapisu, że element znajduje się w zbiorze używamy symbolu \$\in\$.
Zbiór pusty to zbiór niezawierający żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem \$\emptyset\$, a moc takiego zbioru wynosi zero, tzn. \$|\emptyset|=0\$.
Zbiory liczbowe
Zbiór liczb naturalnych (\$\mathbb{N}\$): Zawiera liczby całkowite nieujemne. Elementy tego zbioru to liczby \$0, 1, 2, 3, 4\$ i tak dalej. Zbiór oznaczamy literą \$\mathbb{N}\$.
Zbiór liczb całkowitych (\$\mathbb{Z}\$): Zawiera wszystkie liczby całkowite: \$\cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots\$. Zbiór oznaczamy literą \$\mathbb{Z}\$. W szkole możemy spotkać się z oznaczeniem \$\mathbb{C}\$.
Zbiór liczb wymiernych (\$\mathbb{Q}\$): Zawiera liczby, które możemy przedstawić w postaci ułamka \$\dfrac{p}{q} \$, gdzie liczby \$p, q\$ należą do zbioru liczb \$\mathbb{Z}\$ i jednocześnie \$q\neq 0\$. Zbiór ten oznaczamy literką \$\mathbb{Q}\$. W szkole oznaczamy go jako \$\mathbb{W}\$.
Zbiór liczb niewymiernych (\$\mathbb{I}\$): Zawiera liczby, które nie da się przedstawić w postaci ułamka. Są to liczby takie jak np. \$\pi\$, \$\sqrt{2}\$. Liczby te mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, stąd musimy przybliżać ich wartości. Zbiór ten oznaczamy literką \$\mathbb{I}\$. W szkole oznaczamy go też \$\mathbb{NW}\$.
Zbiór liczb rzeczywistych (\$\mathbb{R}\$): Zawiera liczby wymierne i niewymierne, a więc wszystkie liczby na których wykonujemy na co dzień kalkulacje.
Wyróżniamy także dodatnie lub ujemne podzbiory zbiorów liczbowych jako zbiory, do których należą odpowiednio ujemne lub dodatnie elementy, które są częścią zbioru głównego. Podzbiory te wyróżniamy zapisując index przy znaku zbioru głównego z symbolem (+) lub (-).
Zbiór \$\mathbb{N_+}\$ oznacza zbiór dodatnich liczb naturalnych, a więc \$\mathbb{N_+}=\{ 1, 2, 3, 4, \cdots \}\$. Zbiór \$\mathbb{N_{-}}\$ nie ma sensu, jest to zbiór pusty.
Weźmy zbiór \$\mathbf{R_{+}}\$ oraz \$\mathbf{R_{-}}\$. Są to zbiory odpowiednio dodatnich i ujemnych liczb rzeczywistych. Równoważna definicja np. zbioru liczb rzeczywistych dodatnich:
\[ \mathbb{R_{+}} = \{x\in\mathbb{R}:x>0 \} \]