Spójniki logiczne
Wyrażenia matematyczne będziemy łączyć przy pomocy spójników logicznych tworząc w ten sposób złożone wyrażenia.
Możemy ocenić wyrażenia pod względem prawdziwości, ale czasami jest to możliwe dopiero po określeniu dziedziny wyrażenia. Na przykład mając wyrażenie \$2=3\$, możemy powiedzieć, że jest ono fałszywe, ale mając wyrażenie \$x=3\$ nie możemy tego zrobić dopóki nie znamy wartości \$x\$. Jeśli za iksa podstawimy liczbę \$3\$, to wiemy, że wyrażenie jest prawdziwe, dla każdej innej liczby, jest to wyrażenie fałszywe.
Możemy oceniać wyrażenia pod kątem nie pojedynczych elementów ze zbioru, ale całego zbioru. Poniższe wyrażenie jest prawdziwe dla każdego \$x,y\in\mathbb{R}\$.
\[ x+y=y+x \]Powiemy: Dla wszystkich \$x,y\in\mathbb{R}\$ wyrażenie jest prawdziwe.
Weźmy poniższe wyrażenie, które nie jest prawdziwe dla wszystkich \$x,y\$ w liczbach rzeczywistych, chodź np. jeśli za iksa podstawimy liczbę \$0\$, to otrzymamy wyrażenie prawdziwe.
\[ x*y=0 \]Dla pewnych \$x,y\$ ze zbioru liczb rzeczywistych to wyrażenie jest prawdziwe.
Powiemy: Istnieje \$x,y\in\mathbb{R}\$, że wyrażenie jest prawdziwe.
Wyrażenia proste możemy łączyć spójnikami logicznymi toworząc wyrażenia złożone, które prawdziwość oceniamy na podstawie wyrażeń prostych.
"i/oraz"
Dla dwóch wyrażeń \$A\$ i \$B\$, wyrażenie złożone: \$A \ \text{i/oraz} \ B\$ jest prawdziwe, gdy oba wyrażenia są prawdziwe. Spójnik ten oznaczamy symbolem "\$\wedge\$."
Mamy dwa warunki, które muszą być spełnione, aby całe wyrażenie było prawdziwe.
\[ x+y=7 \wedge 2x-y=2 \]Możemy podstawić za \$x\$ i \$y\$ dowolne wartości i ocenić prawdziwość całego wyrażenia, ale szukamy takich, aby układ był zawsze spełniony. Rozwiązujemy układ metodą podstawiania.
\[x=7-y\] Z drugiego równania otrzymujemy. \[\begin{aligned} 2(7-y)-y&=2 \\ 14-2y-y&=2 \\ y=4 \end{aligned}\]Otrzymujemy \$x=3, y=4\$. Podstawiając te wartości za odpowiednie zmienne, mamy wyrażenie złożone zawsze prawdziwe.
"lub"
Dla dwóch wyrażeń \$A\$ i \$B\$, wyrażenie złożone: \$A \ \text{lub} \ B\$ jest prawdziwe, gdy co najmiej jedno z wyrażeń \$A\$ lub \$B\$ jest prawdziwe. Spójnik ten oznaczamy symbolem "\$\vee\$."
Weźmy wyrażenie złożone:
\[ 2=3 \vee 5=5 \]Jest to wyrażenie prawdziwe, bo chodź \$2=3\$ jest wyrażeniem fałszywym, to wyrażenie \$5=5\$ jest prawdziwe, a więc całe wyrażenie złożone jest prawdziwe.
Weźmy wyrażenie:
\[ x^2\le 0, \ \text{dla} \ x\in\mathbb{R} \]Interpretujemy je jako: dla wszystkich \$x\in\mathbb{R}\$ mamy:
\[ x^2< 0 \vee x^2 = 0 \]Jest to wyrażenie złożone fałszywe, bo oba warunki są fałszywe. Tylko, gdy za iska podstawimy \$0\$, to całe wyrażenie będzie prawdziwe.
Jeden przedział już mamy podany w treści zadania: \$x\ge 7\$, więc \$x\in[7;\infty)\$. Rozwiązując nierówność \$(x+5)^2< 9\$ znajdziemy pozostałe.
Dziedziną wyrażenia jest \$x\ge -5\$, więc możemy spokojnie spierwiastkować nierówność stronami (\$x+5\ge 0\$).
\[\begin{aligned} (x+5)^2&< 9 \ / \ \sqrt{} \\ \sqrt{(x+5)^2}&< \sqrt{9} \\ x+5&< 3 \\ x&<(-2) \end{aligned} \]Mamy, że \$x< -2\$, ale jednocześnie (i) \$x\ge -5\$, więc mamy drugi przedział: \$x\in[-5;-2)\$.
Odp: Całe wyrażenie jest zawsze prawdziwe dla: \$x\in[-5; -2) \ \text{lub} \ x\in[7;\infty) \$
"wtedy i tylko wtedy"
Dla dwóch wyrażeń \$A\$ i \$B\$, wyrażenie złożone: \$A \ \text{wtedy i tylko wtedy} \ B\$ oznacza, że jeśli wyrażenie \$A\$ jest prawdziwe, to prawdziwe jest wyrażenie \$B\$ oraz jeśli wyrażenie \$B\$ jest prawdziwe, to prawdziwe jest też wyrażenie \$A\$. Oznaczamy to symbolem "\$\Leftrightarrow\$".
Układ równoważny innemu układowi to układ, który ma taki sam zbiór rozwiązań. W przykładzie wyżej podaliśmy rozwiązanie układu z treści zadania, gdzie \$x=3\$ i \$y=4\$. To rozwiązanie samo w sobie jest układem równoważnym.
\[ \begin{cases}x+y=7 \\ 2x-y=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=3\\ y=4 \end{cases}\]Jeśli układ z lewej strony \$\Leftrightarrow\$ jest prawdziwy, to z prawej strony również i odwrotnie. Jeśli układ z prawej strony spójnika jest prawdziwy, to z lewej strony także.
Mnożąc pierwsze równanie w układzie stronami przez \$3\$, a drugie równanie dzieląc stronami przez \$-2\$, także otrzymujemy układ równoważny.
\[ \begin{cases}x+y=7 \\ 2x-y=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}3x+3y=21\\ -x+\frac{1}{2}y=-1 \end{cases}\]Definicja pierwiastka kwadratowego z liczby \$a\ge 0\$ i \$x\ge 0\$ wygląda następująco:
\[ \sqrt{a}=x \Leftrightarrow x^2=a \]Jeśli równanie z lewej strony \$\Leftrightarrow\$ jest prawdziwe, to z prawej strony również i odwrotnie. Jeśli równanie z prawej strony spójnika jest prawdziwe, to z lewej strony także.
Stąd mając:
\[ \sqrt{4}=x \Leftrightarrow x^2 =4 \]Mamy \$x^2=4\$ dla \$x\in\{ -2, 2 \}\$, ale bierzemy tylko \$x\ge 0\$, więc \$\sqrt{4}=2\$.
Wyrażenie \$A \wedge B\$ jest prawdziwe, gdy oba wyrażenia \$A\$ i \$B\$ są jednocześnie prawdziwe.
Wyrażenie \$A \vee B\$ jest prawdziwe, gdy co najmiej jedno z wyrażeń \$A\$ lub \$B\$ jest prawdziwe.
Wyrażenie \$A \Leftrightarrow B\$ oznacza, że \$A\$ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest wyrażenie \$B\$.