Procent składany
Wzór na procent składadny
gdzie:
\$K\$: kapitał początkowy
\$n\$: liczba lat oszczędzania
\$k\$: liczba kapitalizacji w ciągu roku
\$p\$: oprocentowanie w skali roku (w wartości liczbowej)
\$K_0\$: kapitał zgromadzony po \$n\$ latach oszczędzania
Odp: Zysk Moniki to \$4802\$ złote i \$44\$ grosze.
Uwaga. W podanym modelu dokonujemy przybliżenia kapitału zgromadzonego na koniec lokaty nie licząc kapitału zgromadzonego z każdą kapitalizacją co roku zaokrągloną do 1 grosza. W rzeczywistości jest inaczej, więc w praktyce podany zysk może się nie różnić.
Kapitalizacja kwartalna oznacza, że mamy 4 kapitalizacje w roku (co 3 miesiące).
\$K\$: kapitał początkowy
\$K_1\$: kapitał zgromadzony na koniec lokaty (kapitalizacja raz w roku)
\$K_4\$: kapitał zgromadzony na koniec lokaty (kapitalizacja 4 razy w roku)
Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie czy \$K_1\le K_4\$ ? Załóżmy nierówność i zobaczmy co wyjdzie.
\[\begin{align*} K_1 &\le K_4 \\ K\left(1+\frac{6}{100}\right)^{10} &\le K\left(1+\frac{6}{100*4}\right)^{4*10} \\ K *1.06^{10} &\le K\left(1+\frac{6}{400}\right)^{40} = K\left(1+\frac{3}{200}\right)^{40} \end{align*}\] A więc otrzymujemy: \[\begin{align*} K*1.06^{10} &\le K*1.015^{40} \end{align*}\] Zakładamy, że \$K>0\$, więc możemy podzielić stronami nierówność przez \$K\$: \[\begin{align*} \cancel{K}*1.06^{10} &\le \cancel{K}*1.015^{40} \\ 1.06^{10} &\le 1.015^{40} \end{align*}\] Możemy uprościć nierówność zapisując potęgi w tych samych wykładnikach: \[\begin{align*} 1.06^{10} &\le \left(1.015^{4}\right)^{10} / \sqrt[10]{} \\ 1.06 &\le 1.015^{4} \approx 1.061 \end{align*}\] Założenie, że \$K_1\le K_4\$ jest prawdziwe, w szczególności widzimy, że \$K_1< K_4\$Odp: W tym wypadku lepiej zainwestować w lokatę z kapitalizacją kwartalną. Kwota początkowa nie ma znaczenia.
Uwaga. Możemy też przyjąć na początku nierówność \$\ge\$, która doprowadzi nas do sprzeczności, co będzie znaczyć, że \$K_1 < K_4\$.
Wydaje się, że różnica w gromadzonych kapitałach na obu lokatach jest bardzo niewielka. Sprawdźmy.
\[\frac{\cancel{K}*1.015^{40}}{\cancel{K}*1.06^{10}} \approx 1.0129 (-) = 101.29\% (-)\]Kapitał \$K_4\$ będzie około ponad większy o \$1.29\%\$ od kapitału \$K_1\$.