Potęga - wykładnik całkowity
Potęgowanie
Potęga z liczby \$a\in\mathbb{R}\setminus \{ 0 \}\$ o wykładniku ujemnym całkowitym, gdzie \$n\in\mathbb{N}\setminus \{ 0 \}\$ to liczba:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n} \]\$\displaystyle{2^3:2^4 = \frac{\cancel{2}*\cancel{2}*\cancel{2}}{\cancel{2}*\cancel{2}*\cancel{2}*2} = \frac{1}{2} = 2^{-1} }\$
\$\displaystyle{ 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} }\$
\$\displaystyle{ (-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25} }\$
\$\displaystyle{ \left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = \frac{1}{ \left(\frac{1}{7}\right)^1 } = 7 }\$
Powyższa definicja oraz definicja dla wykładnika nieujemnego umożliwia znane działania na potęgach z wykładnikiem całkowitym.
Dla \$a,b\neq 0\$ i \$k_1, k_2\in\mathbb{Z}\$ zachodzą poniższe wzory.
\[ a^{k_1}*a^{k_2} = a^{k_1+k_2} \] \[ a^{k_1}:a^{k_2} = a^{k_1-k_2} \] \[ \left(a^{k_1}\right)^{k_2} = a^{k_1*k_2} \] \[ \left( a*b \right)^{k_1} = a^{k_1}*b^{k_1} \] \[ \left( \frac{a}{b} \right)^{k_1} = \frac{a^{k_1}}{b^{k_1}} \]\$\displaystyle{2^3*2^5 = 2^{3+5} = 2^{8} }\$
\$\displaystyle{(-2)^3:(-2)^5 = (-2)^{3-5} = (-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} }\$
\$\displaystyle{\left(3^5\right)^7 = 3^{5*7} = 3^{35} }\$
\$\displaystyle{ \left[ 3*(-5) \right]^{6} = 3^{6}*(-5)^6 }\$
\$\displaystyle{ \left(\frac{3}{4}\right)^{11} = \frac{3^{11}}{4^{11}} }\$
Jeśli w wyrażeniach są potęgi z ujemnymi podstawami, to obliczanie można sobie uprościć stosują prawa działań na potęgach i następujące regułki.
Jeśli w wyrażeniach z potęgą, mamy podstawę ujemną, a wykładnik parzysty, to można traktować taką podstawę jako dodatnią (przeciwną):
a) \$\displaystyle{(-2)^6*2^3 = 2^6*2^3 = 2^9 }\$
b) \$\displaystyle{ \left[ (-3)^5 \right]^2 = \left[ (-3)^2 \right]^5 = (3^2)^5 = 3^{10} }\$
c) \$\displaystyle{ \left[ 7 * (-5) \right]^8 = 7^8 * 5^8 }\$
W wyrażeniach, gdzie mnożymy (dzielimy) potęgi o przeciwnych podstawach i wykładnik w podstawie ujemnej jest nieparzysty, możemy wyłączyć \$(-1)\$ przed całe wyrażenie i potęgi traktować jako potęgi z podstawami dodatnimi:
a) \$\displaystyle{ (-2)^3 * 2^5 = (-1) * 2^3 * 2^5 = (-1) * 2^8 = -2^8 }\$
b) \$\displaystyle{ 5^6 * (-5)^3 = (-1) * 5^6 * 5^3 = (-1) * 5^{9} = -5^{9} }\$
c) \$\displaystyle{ (-3)^{11} : 3^7 = (-1) * 3^{11} : 3^7 = (-1) * 3^4 = -3^4 }\$
d) \$\displaystyle{ 4^6 : (-4)^9 = (-1) * 4^6 : 4^9 = (-1) * 4^{-3} = -4^{-3} }\$