Potęga i pierwiastek
Potęgowanie
Potęga z liczby \$a\in\mathbb{R}\$ o wykładniku nieujemnym całkowitym \$n\in\mathbb{N}\$ to liczba:
\[ a^n=\begin{cases} \underbrace{a*a*a*\cdots *a}_n \ &\text{dla} \ n\ge 1 \\ 0 \ &\text{dla} \ n=0, a\neq 0 \end{cases}\]Liczbę \$a\$ nazywamy podstawą potęgi, a liczbę \$n\$ wykładnikiem potęgi.
Liczba \$0^0\$ jest nieokreślona.
\$2^3 = 2*2*2=8\$
\$(-2)^5 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2) = (-32)\$
\$\displaystyle{\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3}{4} * \frac{3}{4} *\frac{3}{4} = \frac{27}{64} } \$
\$\displaystyle{ 0^{21} = 0 } \$
\$\displaystyle{ 21^0 = 1 } \$
Podstawowe prawa działań znasz już ze szkoły podstawowej. Pamiętaj, że potęga z podstawy ujemnej o wykładniku przystym nie jest ujemna.
\$\displaystyle{ (-3)^4 = (-3)* (-3)* (-3)* (-3) = 81 }\$
\$\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} }\$
Pierwiastkowanie
Pierwiastek arytmetyczny z liczby \$a\ge 0\$ stopnia \$n\in\mathbb{N}\$ oraz \$n\ge 2\$ to liczba \$\sqrt[n]{a}\$ taka, że:
Liczbę \$a\$ nazywamy liczbą pierwiastkowaną.
Z definicji widzimy, że potęgowanie i pierwiastkowanie są operacjami odwrotnymi na liczbach nieujemnych.
\$\sqrt[2]{4} = 2 \ \text{bo} \ 2^2 = 4\$
\$\sqrt[2]{9} = 3 \ \text{bo} \ 3^2 = 9\$
\$\sqrt[3]{64} = 4 \ \text{bo} \ 4^3 = 64\$
\$\sqrt[3]{125} = 5 \ \text{bo} \ 5^3 = 125\$
\$\sqrt[7]{1} = 1 \ \text{bo} \ 1^7 = 1\$
\$\displaystyle{\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2} \ \text{bo} \ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}}\$
Pierwiastek kwadratowy to pierwiastek drugiego stopnia: \$ \sqrt[2]{a} = \sqrt{a} \$.
Pierwiastek sześcienny to pierwiastek trzeciego stopnia: \$ \sqrt[3]{a} \$.
Jako, że potęgowanie i pierwiastkowanie są operacjami wzajemnie odwrotnymi, to wprost z definicji zachodzi:
\[ \sqrt[n]{a^n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \ \text{dla} \ a\ge 0 \]\$\sqrt{4^2} = \sqrt{16} = 4\$
\$\displaystyle{\left(\sqrt{4}\right)^2 = 2^2 = 4 }\$
\$\displaystyle{\sqrt[3]{8^3}= \sqrt[3]{512} = 8 }\$
\$\displaystyle{\left(\sqrt[3]{8}\right)^3 = 2^3 = 8 }\$
\$\displaystyle{\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5}\$
Dla przykładu dowód \$\displaystyle{ \sqrt[n]{a^n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \ \text{dla} \ a\ge 0 }\$
a) \$\sqrt[n]{a^n}=a\$
Z definicji:
\[ \sqrt[n]{a^n} = x \Leftrightarrow x^n = a^n \]Mamy, że \$x\ge 0\$ i \$a\ge 0\$, więc jeśli \$x^n=a^n\$, to \$x=a\$, a to oznacza, że \$\sqrt[n]{a^n}=a \$.
b) \$\displaystyle{\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a }\$
Z definicji:
\[ \sqrt[n]{a} = x \Leftrightarrow x^n = a \]Jeśli podniesiemy równanie \$\sqrt[n]{a} = x\$ stronami do \$n\$, otrzymamy \$\displaystyle{\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=x^n } \$, ale z definicji \$x^n=a\$, więc \$\displaystyle{\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a } \$.