Rozwinięcie dziesiętne liczby
Rozwinięcie dziesiętne liczby to wartości dziesiętne liczby, które piszemy po przecinku po wartości liczby całkowitej.
Rozwinięcie dziesiętne okresowe to rozwinięcie dziesiętne liczby, która w wartościach dziesiętnych ma nieskończony powtarzający się okres.
Rozwinięcie dziesiętne okresowe zaznaczamy trzema kropkami \$\cdots\$ w rozwinięciu dziesiętnym, jeśli jest jasne jakie cyfry, to powtarzajacy się okres lub w nawiasie \$()\$, w którym podajemy, które cyfry się powtarzają.
Liczby wymierne (ułamki) mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub rozwinięcie dziesiętne okresowe.
Liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe. Występowanie cyfr w wartościach dziesiętnych jest nieskończone i nie ma okresu, który się powtarza.
Rozwinięcie dziesiętne liczb wymiernych.
\$\displaystyle{\frac{3}{4} = 0.75 \quad \frac{1}{125} = 0.008 \quad \frac{1}{3} = 0.333\ldots = 0.(3) \quad \frac{39}{1000} = 0.039 \quad \frac{11}{13} = 0.(846153)}\$
Rozwinięcie dziesiętne liczb niewymiernych.
Dla liczby \$\sqrt{5}\$ bierzemy zaokrąglenie do 4 miejsca po przecinku używając kalkulatora: \$\sqrt{5}\approx 2.2361(+)\$.
Dla liczby \$\sqrt{71}\$ bierzemy zaokrąglenie do 4 miejsca po przecinku używając kalkulatora: \$\sqrt{71}\approx 8.4261(-)\$.
Dla liczby "pi" \$\pi\$ zaokrąglenie do 5 miejsca po przecinku: \$\pi\approx 3.14159(-) \$.
Zamiana ułamka na rozwinięcie dziesiętne
Aby zamienić ułamek na rozwinięcie dziesiętne, rozszerzamy lub skracamy ułamek tak aby w mianowniku otrzymać potęgi liczby \$10\$.
\$\displaystyle{ \frac{4}{5} = \frac{4}{5} * \frac{2}{2} = \frac{8}{10} = 0.8 }\$
\$\displaystyle{ \frac{3}{4} = \frac{3}{4} * \frac{25}{25} = \frac{75}{100} = 0.75 }\$
\$\displaystyle{ \frac{13}{20} = \frac{13}{20} * \frac{5}{5} = \frac{65}{100} = 0.65 }\$
\$\displaystyle{ \frac{61}{125} = \frac{61}{125} * \frac{8}{8} = \frac{488}{1000} = 0.488 }\$
\$\displaystyle{ \frac{3}{250} = \frac{3}{250} * \frac{4}{4} = \frac{12}{1000} = 0.012 }\$
\$\displaystyle{ \frac{18}{600} = \frac{18}{600} * \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{3}{100} = 0.03 }\$
W poniższym filmie przedstawiam na przykładach sposoby zamiany ułamka na rozwinięcie dziesiętne.
Zamiana rozwinięcia dziesiętnego na ułamek
W poniższym filmie przedstawiam na przykładach sposoby zamiany rozwinięcia dziesiętnego na ułamki.
Niech \$x=0.(3) = 0.333\ldots\$ i wtedy.
\[ 10x=3.333\ldots \]Pozbywamy się części dziesiętnych poprzez różnicę \$10x-x\$.
\[ 10x-x=3.333\ldots - 0.333\ldots \] \[\begin{aligned} 9x&=3 \\ x&=\frac{3}{9} = \frac{1}{3} \end{aligned}\]Niech \$x=0.(27) = 0.272727\ldots\$ i wtedy.
\[ 100x=27.272727\ldots \]Pozbywamy się części dziesiętnych poprzez różnicę \$100x-x\$.
\[ 100x-x=27.272727\ldots - 0.272727\ldots \] \[\begin{aligned} 99x&=27 \\ x&=\frac{27}{99} = \frac{3}{11} \end{aligned}\]Niech \$x=0.28(15)\$ i wtedy.
\[\begin{aligned} 100x&=28.(15) \\ 10000x&= 2815.(15) \end{aligned}\]Pozbywamy się części dziesiętnych poprzez różnicę \$10000x-100x\$.
\[\begin{aligned} 9900x&= 2815.(15) - 28.(15) \\ 9900x&=2787 \end{aligned}\]Znajdujemy ułamek w postaci nieskracalnej dzieląc licznik i mianownik przez trzy.
\[\begin{aligned} x&=\frac{2787}{9900} = \frac{929}{3300} \end{aligned}\]Zachodzi równość \$3.28(15) = 3\frac{929}{3300}\$.