Równanie kwadratowe
Za nim podamy wzory na rozwiązywanie równania kwadratowego, przypomnimy sobie jak do tej pory rozwiązywaliśmy proste równania z jedną niewiadomą \$x\$ w pierwszej potędze. Były to równania podobne do tego poniżej.
a) \$5x=x-4 \$
b) \$-2(x-7)+5x=3x+9\$
c) \$x-10=x+7 \$
Tego typu równania da się sprowadzić do postaci ogólnej \$ax+b=0\$ lub \$ax=b\$, gdzie \$x\$ to szukana niewiadoma, a liczby \$a, b\$ to współczynniki. Możemy rozwiązać to równanie. Przy założeniu, że \$a\neq 0\$, mamy rozwiązanie.
\[ x=\frac{-b}{a} \]Jeśli \$a=0\$, to równanie sprowadza się do \$b=0\$ i jest niezależne od wartości iksa. Na przykład, gdy \$b\$ jest równe zero, to mamy nieskończenie wiele rozwiązań.
Podsumowując, równanie liniowe z jedną niewiadomą ma jedno rozwiazanie, gdy \$a\neq 0\$ lub gdy \$a=0\$, ma nieskończenie wiele rozwiązań dla \$b=0\$ oraz jest sprzeczne (nie ma żadnego rozwiązania) dla \$b\neq 0\$.
Równanie nie ma żadnego rozwiązania. Współczynnik \$a=0\$ i \$b=5\$.
Proste równania kwadratowe
Równania kwadratowe, to równania w których niewiadoma występuje w drugiej potędze.
Równania kwadratowe możemy rozwiązywać wyłączając wspólny czynnik przed nawias lub korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
\[ \begin{aligned} a^2-b^2&=(a+b)(a-b) \\ (a\pm b)^2&=a^2\pm 2ab + b^2 \end{aligned} \]Jak widać z przykładów równanie kwadratowe może mieć dwa rozwiązania.
Równanie kwadratowe w postaci ogólnej
Równanie kwadratowe może mieć co najwyżej dwa rozwiązania, które obliczamy z poniższych wzorów.
Wzór na wyróżnik (deltę) równania kwadratowego:
\[ \Delta = b^2-4ac \]Istnieją rozwiązania równania kwadratowego w \$\mathbb{R}\$, gdy \$\Delta \ge 0\$:
\[ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \]Aby rozwiązać równanie kwadratowe:
1) Oblicz wyróżnik \$\Delta=b^2-4ac\$.
2) Jeżeli \$\Delta< 0\$, to nie ma rozwiązania.
3) Jeżeli \$\Delta= 0\$, to jest jedno rozwiazanaie.
4) Jeżeli \$\Delta > 0\$, to są dwa rozwiązania:
\[ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \]Współczynniki \$a=1, b=6, c=9 \$.
\[\begin{aligned} \Delta = 6^2-4*1*9 = 36-36=0 \end{aligned}\] Istnieje jedno rozwiązanie: \[\begin{aligned} x=\frac{-6}{2*1} = \frac{-6}{2} = -3 \end{aligned}\]Sprowadzamy równanie do postaci ogólnej.
\[ x^2-6x+5 = 0 \]Współczynniki \$a=1, b=-6, c=5 \$.
\[\begin{aligned} \Delta = (-6)^2-4*1*5 = 36-20 = 16 > 0 \end{aligned}\] Istnieją dwa rozwiązania i mamy \$\sqrt{\Delta} = 4\$: \[\begin{aligned} x_1=\frac{-(-6) + 4}{2*1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-(-6) - 4}{2*1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \end{aligned}\]Aby ułatwić sobie obliczenia, możemy przemnożyć równanie stronami przez \$-1\$.
\[\begin{aligned} -2x^2+15x+8&=0 \ /*(-1) \\ 2x^2-15x-8&=0 \end{aligned}\]Współczynniki \$a=2, b=-15, c=-8 \$.
\[\begin{aligned} \Delta = (-15)^2-4*2*(-8) = 225+64 = 289 > 0 \end{aligned}\] Istnieją dwa rozwiązania i mamy \$\sqrt{\Delta} = 17\$: \[\begin{aligned} x_1=\frac{-(-15) + 17}{2*2} = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2=\frac{-(-15) - 17}{2*2} = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{aligned}\]